Sơ đồ tư duy Toán 12 chương 1 Đại số – Trường THPT Trịnh Hoài Đức

Trong chương trình thi tốt nghiệp THPT, Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số là một trong những chưa quan trọng và dễ kiếm điểm nhất. Vì vậy THPT Trịnh Hoài Đức biên soạn chi tiết bộ sơ đồ tư duy toán 12 chương 1 đại số kèm hướng dẫn giải chi tiết dạng toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi của hàm số. Các em cùng xem kĩ các phần được trình bày dưới đây:

A. Sơ đồ tư duy toán 12 chương 1 đại số

B. Các dạng toán 12 chương 1 đại số

I. Tổng hợp kiến thức toán 12: sự đồng biến và nghịch biến của hàm số 

1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)

– Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P. ( x ), hoặc giá trị của x làm biểu thức P. ( x ) không xác lập .
– Bước 2. Sắp xếp những giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn .
– Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P. ( x ) trên từng khoảng chừng của bảng xét dấu .

2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên tập xác định

– Bước 1. Tìm tập xác lập D .
– Bước 2. Tính đạo hàm y ’ = f ‘ ( x ) .
– Bước 3. Tìm nghiệm của f ‘ ( x ) hoặc những giá trị x làm cho f ‘ ( x ) không xác lập .
– Bước 4. Lập bảng biến thiên .
– Bước 5. Kết luận .

3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b) cho trước

Cho hàm số y = f ( x, m ) có tập xác lập D, khoảng chừng ( a ; b ) ⊂ D :
– Hàm số nghịch biến trên ( a ; b ) ⇔ y ’ ≤ 0, ∀ x ∈ ( a ; b )
– Hàm số đồng biến trên ( a ; b ) ⇔ y ’ ≥ 0, ∀ x ∈ ( a ; b )

* Chú ý: Riêng hàm số  thì :

– Hàm số nghịch biến trên ( a ; b ) ⇔ y ’ 0, ∀ x ∈ ( a ; b )

4. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3+ bx2+ cx + d (a ≠ 0)

Ta có y ’ = 3 ax2 + 2 b x + c
– Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y ’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ b2 – 3 ac > 0. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là :
Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :

Hoặc sử dụng công thức: 

– Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là :

5. Hướng dẫn giải nhanh bài toán cực trị hàm trùng phương

Cho hàm số : y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0 ) có đồ thị là ( C ) .

( C ) có ba điểm cực trị y ’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

II. Tổng hợp kiến thức toán lớp 12: giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 

1. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên

– Bước 1. Tính đạo hàm f ‘ ( x ) .
– Bước 2. Tìm những nghiệm của f ‘ ( x ) và những điểm f ‘ ( x ) trên K .
– Bước 3. Lập bảng biến thiên của f ( x ) trên K .

– Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận 

2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên

a ) Trường hợp 1 : Tập K là đoạn [ a ; b ]
– Bước 1. Tính đạo hàm f ‘ ( x ) .

– Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ [a; b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm α ∈ [a; b] làm cho f'(x) không xác định.

– Bước 3. Tính f ( a ), f ( b ), f ( xi ), f ( αi ) .
– Bước 4. So sánh những giá trị tính được và Kết luận

b ) Trường hợp 2 : Tập K là khoảng chừng ( a ; b )
– Bước 1. Tính đạo hàm f ‘ ( x ) .
– Bước 2. Tìm toàn bộ những nghiệm xi ∈ ( a ; b ) của phương trình f ‘ ( x ) = 0 và tổng thể những điểm αi ∈ ( a ; b ) làm cho f ‘ ( x ) không xác lập .

– Bước 3. Tính  

– Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận 

* Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

III. Tổng hợp lý thuyết toán 12: Đường tiệm cận

1. Quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc tìm GH của tích f ( x ). g ( x )

2. Quy tắc tìm giới hạn của thương 

IV. Tổng hợp kiến thức toán 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1. Các bước giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

– Bước 1. Tìm tổng thể những tập xác lập của hàm số đã cho
– Bước 2. Tính đạo hàm y ’ = f ‘ ( x ) ;
– Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình ;

– Bước 4. Tính giới hạn   và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có);

– Bước 5. Lập bảng biến thiên ;
– Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị ( nếu có ) ;
– Bước 7. Tìm những điểm đặc biệt quan trọng của đồ thị ( giao với trục Ox, Oy, những điểm đối xứng, … ) ;
– Bước 8. Vẽ đồ thị .

2. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3 y = ax3+ bx2+ cx + d (a ≠ 0)

– Lưu ý: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac

3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4 + bx2+ c (a ≠ 0)

4. Các dạng đồ thị của hàm số nhất biến  (ab – bc ≠ 0)

5. Biến đổi đồ thị

Cho 1 hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ). Khi đó, với số a > 0 ta có :
– Hàm số y = f ( x ) + a có đồ thị ( C ’ ) là tịnh tiến ( C ) theo phương của Oy lên trên a đơn vị chức năng .
– Hàm số y = f ( x ) – a có đồ thị ( C ’ ) là tịnh tiến ( C ) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị chức năng .
– Hàm số y = f ( x + a ) có đồ thị ( C ’ ) là tịnh tiến ( C ) theo phương của Ox qua trái a đơn vị chức năng .
– Hàm số y = f ( x – a ) có đồ thị ( C ’ ) là tịnh tiến ( C ) theo phương của Ox qua phải a đơn vị chức năng .
– Hàm số y = – f ( x ) có đồ thị ( C ’ ) là đối xứng của ( C ) qua trục Ox .
– Hàm số y = f ( – x ) có đồ thị ( C ’ ) là đối xứng của ( C ) qua trục Oy .

– Hàm số   có đồ thị (C’) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần ( C ) nằm bên trái Oy .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục Oy qua Oy .

– Hàm số có đồ thị ( C ’ ) bằng cách :
+ Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm trên Ox .

    + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới Ox.

Trên đây là tổng hợp kiến thức toán lớp 12 chương 1 phần hàm số mà THPT Trịnh Hoài Đức muốn chia sẻ đến các bạn, hi vọng thông qua bài viết ở trên, bạn có thể tổng hợp lại những kiến thức và đắp vào những lỗ hổng còn thiếu sót của bản thân. Chương này là 1 trong các chương quan trọng trong kì thi THPT quốc gia, vì vậy các bạn nhớ ôn tập thật kỹ để tự tin khi làm bài nhé.

Đăng bởi : trung học phổ thông Trịnh Hoài Đức
Chuyên mục : Lớp 12, Toán 12